Thực hiện ý định của mình, nàng Pénélope thận trọng, con gái của người anh hùng Icarios, hôm sau sai gia nhân sửa soạn gian phòng lớn cho cuộc tỉ thí. Trái tim nàng buồn khôn xiết khi nàng bước vào căn phòng riêng của vợ chồng nàng. Từ ngày chồng nàng ra đi, nàng ngủ ở trên tầng gác cao. Hôm nay nàng lên căn phòng chứa chất bao kỷ niệm êm ấm hạnh phúc của nàng để lấy chiếc cung và ống tên của chồng nàng đem xuống cho bọn cầu hôn tỉ thí, cuộc tỉ thí sẽ quyết định số phận nàng. Ngồi trong phòng, đặt chiếc cung vào lòng, nàng bưng mặt khóc nức nở. Sau đó nàng đem cây cung và ống tên đến gian phòng lớn nơi bọn cầu hôn đã tề tựu đông đủ. Đi theo nàng là hai người nữ tì xinh đẹp rất đỗi trung thành. Đứng trước bọn cầu hôn đông đảo, nàng cất tiếng nói:
- Hỡi các vị cầu hôn hống hách đã ngày ngày đến căn phòng này chè chén khi chủ nó vắng nhà. Đây là một điều kiện mà không một ai có thể khước từ nếu người đó muốn kết hôn với ta. Xin các vị lắng nghe cho rõ. Ta chỉ kén chọn được một người trong số các vị để làm chồng thôi, vì thế đây là lúc các vị phải trổ tài cao thấp trong một cuộc tỉ thí mà ta sẽ nói rõ sau đây. Ta long trọng tuyên bố rằng vị nào giương được cây cung trứ danh này để bắn một phát tên xuyên qua mười hai cái lỗ của mười hai cây rìu xếp thành một hàng dọc kia ta xin theo người ấy. Người ấy sẽ được quyền làm chồng ta. Việc thật đơn giản. Trân trọng mời các vị hãy trổ tài để ta được ngưỡng mộ một anh hùng đã chiến thắng trong cuộc thử thách...
Người đầu tiên xin được tỉ thí là gã cầu hôn Léiodès, nhưng hắn chẳng thể nào giương nổi cây cung. Tiếp đó nhiều vị nữa quyết vượt qua thử thách để đoạt được nàng Pénélope cùng với của cải nhiều vô kể của nàng nhưng không sao vượt nổi. Chỉ còn lại Antinoos và Eurymaque, hai con người danh tiếng cao lớn, to khỏe như hai vị thần xưa nay chưa từng chịu bó tay quy hàng trong những cuộc đua tranh, là chưa vào cuộc. Cuối cùng, Eurymaque đứng ra thử sức. Hắn ráng hết sức kéo dây cung cho căng để có thể khi buông tay làm mũi tên bay đi nhưng ba lần hắn chịu thất bại. Hắn buông cây cung và kêu lên những lời thất vọng. Antinoos thấy vậy liền tuyên bố hoãn cuộc tỉ thí đến ngày mai. Ngày mai những người tham dự cuộc tỉ thí sẽ làm một lễ hiến tế vị thần xạ thủ Apollon, người bắn tên xa muôn dặm, bách phát bách trúng, cầu xin thần phù hộ cho rồi mới tiếp tục, và bọn cầu hôn hết thảy đều tán thưởng. Chúng thét gọi những nữ tì rót rượu vang, dâng thịt tiếp cho chúng chè chén và chúng mơ tưởng đến thắng lợi ngày mai. Bây giờ đến lúc người anh hùng Ulysse thực thi mưu kế của mình. Chàng ra khỏi gian phòng lớn đến gặp hai người đầy tớ trung thành là ông lão chăn lợn Eumée và người chăn cừu Philétios báo cho họ biết rằng mình là Ulysse, người chủ của họ đã cải trang trở về để trừng trị bọn cầu hôn. Họ lập tức đi đóng chặt các cửa ngõ trong nhà. Sau đó Ulysse trở lại gian phòng lớn và đứng lên xin phép được tỉ thí. Bọn cầu hôn nhao nhao phản đối. Chúng khinh thị người hành khất, chế giễu lão chẳng biết thân biết phận nghèo hèn của mình mà lại dám “đũa mốc chòi mâm son”, chẳng biết “Khánh vàng còn chẳng ai ăn ai. Huống chi mảnh chĩnh ở ngoài bờ tre”.
Nhưng nàng Pénélope khôn ngoan đứng ra bảo vệ cho quyền được tham dự thi tài của người hành khất bằng những lời lẽ khéo léo không thể bác bỏ được, và Ulysse đứng ra trổ tài. Chàng cầm lấy cây cung, tay trái đưa lên ngang vai, tay phải cầm dây cung kéo mạnh. Dây cung căng ra và rít lên như tiếng rít của con chim nhạn. Bọn cầu hôn sửng sốt. Chàng buông tay. Mũi tên bị dây cung nẩy bật đi kêu đánh tách một cái và xuyên qua mười hai lỗ của mười hai chiếc rìu bay vọt ra ngoài. Chàng nhìn Télémaque nháy mắt ra hiệu. Télémaque liền đeo gươm vào sườn và lấy dao nhọn cầm tay lăm lăm chờ đợi. Ulysse cất tiếng nói dõng dạc:
- Cuộc tỉ thí vô cùng khó khăn như vậy là đã kết thúc. Giờ đây ta xin nhằm cho một cái đích khác mà các vị quyền quý ở đây chưa ai nhằm bắn. Ta muôn biết xem liệu thần Apollon có ban cho ta vinh dự bắn trúng cái đích đó không?
Nói xong Ulysse nhằm Antinoos bắn một phát tên. Phát tên bay đi xuyên trúng họng tên cầu hôn hung hăng nhất, đúng vào lúc hắn đang cầm cốc rượu sắp đưa lên miệng. Antinoos bật ngửa người ra, máu trào ra mũi, chân giãy giụa đạp vào bàn làm thức ăn, bánh mì, thịt quay đổ xuống đất. Bọn cầu hôn hoảng hốt, chạy nhớn nha nhớn nhác đưa mắt quanh phòng mong tìm được một thứ vũ khí gì đó treo trên tường. Một tên cầu hôn lớn tiếng quát:
- Này hỡi cái thằng tứ cô vô thân, cha vơ chú váo kia! Tại sao ngươi lại lấy Antinoos thần thánh của chúng ta ra làm một cái đích để ngươi nhắm bắn! Ngươi đã phạm một tội ác, giết chết một người cao quý nhất trong số những người cao quý ở hòn đảo Ithaque này. Ngươi sẽ bị trừng phạt khủng khiếp.
Ulysse quắc mắt nhìn chúng, quát lớn:
- Hỡi lũ chó má điên cuồng! Các ngươi tưởng rằng ta đã bỏ mình ở thành Troie rồi ư? Không về nữa ư? Vì thế nên các ngươi đến đây tự do hoành hành phá hoại tài sản của ta, thúc ép vợ ta, cưỡng hiếp những nữ tì của ta. Các ngươi chẳng kính sợ thần linh và cũng không biết đến lẽ phải thông thường là ác giả ác báo. Giờ đây thì đòn trừng phạt đã treo lơ lửng trên đầu các ngươi rồi đấy!
Ulysse nói vậy. Lũ cầu hôn sợ tái xanh xám cả người. Chúng có ngờ đâu đến tình cảnh này, chúng cứ tưởng Ulysse bắn nhầm phải Antinoos. Eurymaque thấy tình cảnh nguy ngập, cửa phòng đóng chặt, vũ khí không có trong tay, nếu muốn thoát chết thì chỉ có cách van xin Ulysse, và Eurymaque đã cất lời van xin tha tội và hứa bồi thường lại gấp bội số của cải mà chúng đã làm tổn hại, nhưng Ulysse quyết không tha cho những kẻ đã gây ra bao nỗi đau khổ, cơ cực cho gia đình chàng. Chàng thách thức giao đấu. Bọn cầu hôn hoảng hồn. Eurymaque lên tiếng kêu gọi bọn chúng bình tĩnh chấp nhận cuộc giao đấu để tìm cách giải thoát:
- Hỡi các bạn thân thiết! Tình hình này buộc chúng ta chỉ còn một phương kế để cứu sống lấy mình là chấp nhận cuộc giao tranh với Ulysse. Hãy rút kiếm ra, hãy lấy bàn làm lá chắn chống lại những mũi tên ác hiểm của hắn. Hãy cùng nhau xông thẳng vào hắn đánh bật hắn ra khỏi ngưỡng cửa để chúng ta vượt ra ngoài đô thành kêu cứu. Hãy dũng cảm chấp nhận thách thức! Tên khốn khiếp kia ắt phải đền tội.
Nói xong Eurymaque vung thanh kiếm đồng sắc nhọn xông vào Ulysse với một tiếng thét lớn, nhưng mũi tên của Ulysse bay nhanh đã xuyên ngay vào ngực y. Y buông thanh kiếm đưa tay ôm ngực ngã lăn ra đất, giãy chết. Tên cầu hôn Amphinomos cầm kiếm xông vào Ulysse toan đánh bật Ulysse ra khỏi cửa. Télémaque luôn sẵn sàng. Từ phía sau, cậu phóng ngọn lao nhọn xuyên qua lưng đâm phá ra trước ngực tên cầu hôn láo xược. Amphinomos đổ sấp mặt xuống đất. Télémaque không chạy đến bên thi hài tên cầu hôn để rút ngọn lao ra. Cậu sợ kẻ thù nhằm lúc đó xông lên đâm kiếm vào người cậu. Cậu chạy vội đi lấy vũ khí cho mình và cho cha, cho hai người gia nhân trung thành: bốn chiếc khiên, tám ngọn lao, bốn mũ trụ đồng. Tất cả bốn người đứng trấn giữ ở cửa. Ulysse tiếp tục bắn tên vào lũ cầu hôn. Mỗi mũi tên bay đi và đã làm tròn nhiệm vụ quang vinh của nó: kết liễu cuộc đời một tên cầu hôn, nhưng ống tên đã cạn. Ulysse bèn đội mũ trụ lên đầu, khoác khiên vào vai và cầm lấy hai ngọn lao đồng để tiếp tục chiến đấu.
Thắng lợi tưởng như cầm chắc trong tay thì bỗng đâu nảy ra một tình hình rắc rối, bất lợi. Tên chăn dê Mélanthios, một kẻ phản phúc đã từng lăng nhục, xua đuổi Ulysse khi chàng giả dạng làm người hành khất đến căn phòng lớn và cung cúc tận tụy phục vụ, hầu hạ bọn cầu hôn, giờ đây tìm cách giúp đỡ chúng. Hắn luồn được ra ngoài nhờ ở một chiếc cửa ngách nào đó và chạy đến chỗ để vũ khí. Hắn chạy đi chạy lại đem đến cho bọn cầu hôn mười hai chiếc khiên, mười hai ngọn lao đồng và mười hai chiếc mũ trụ bằng đồng. Thấy bọn cầu hôn bỗng dưng có khiên, lao và mũ trụ, Ulysse bối rối, chột dạ. Chàng nói với Télémaque: